課程資訊
課程名稱
 複分析
Complex Analysis (Honor Program) 
開課學期
 111-1 
授課對象
 理學院  數學系  
授課教師
 林學庸 
課號
 MATH5231 
課程識別碼
 221 U6570 
班次
  
學分
 4.0 
全/半年
 半年 
必/選修
 選修 
上課時間
 星期二6,7(13:20~15:10)星期四6,7(13:20~15:10) 
上課地點
 天數102天數102 
備註
 此課程研究生選修不算學分。
限學士班學生 且 限學士班二年級以上
總人數上限：40人 
  
課程簡介影片
 
核心能力關聯
 本課程尚未建立核心能力關連
課程大綱
為確保您我的權利,請尊重智慧財產權及不得非法影印
課程概述

本課程主要內容為單複變解析函數理論，以及延伸題材。（若有同學想加選，請直接至NTU cool登記意願。） 

課程目標
 全純函數與解析函數、共形變換、黎曼映射定理、解析延拓等基本定理、柯西積分公式、Rouché 定理、亞純函數、留數定理、奇點、整函數、Gamma 函數、zeta 函數、調和函數、質數分佈定理、黎曼曲面（定義和例子）、球面幾何、單值化定理（敘述）。 
課程要求
 每週指定課後閱讀及作業。

作業及考試評分標準：如果是滿分為3分的習題，你將獲得

3 分：如果你的解答和證明是完整、正確，且最佳的。
2 - 2.5 分：如果除了微小疏忽，你的解答和證明是正確的。
0.5 - 1.5 分：如果只有寫出部份證明、或是沒有證明的正確解答。
0 分：如果幾乎沒寫下任何內容。 
預期每週課後學習時數
  
Office Hours
 每週四 15:20~16:20 備註： 習題課為每週二第七節，從第二週開始。 助教（信箱；Office Hour）： 蘇品丞（r11221009@ntu.edu.tw；二8，天數446） 蔡以心（b08201029@ntu.edu.tw；五9） 
指定閱讀
 第一週(9/6)
Ahlfors: 1 - 2 或 Tao: 246A Notes 0, 1 （harmonic functions 可先略過）
Ahlfors: 3.1, 3.2

第二、三週(9/13, 9/20)
Ahlfors: 4.1, 4.2, 4.4 或 Tao: 246A Notes 2, 3（Jordan curve theorem 證明可跳過）

第三週新增(9/20)
Ahlfors: 4.3, 5.1或 Tao: 246A Notes 4.1

第四週(9/27)
Munkres: 46, 47
Stein-Shakarchi: 2.5.2, 8.3.2
Ahlfors: 4.5 或 Tao: 246A Notes 4.2, 4.3

第五週(10/4)
Conway: VIII.3
Ahlfors: 5.2.1 - 5.2.4 或 Tao: 246B Notes 1.2 - 1.4

 
參考書目
 本課程無指定書籍。坊間及網路上有許多不錯的複分析的教材，可參考以下討論串：

https://math.stackexchange.com/questions/30749/what-is-a-good-complex-analysis-textbook-barring-ahlforss
https://mathoverflow.net/questions/332404/what-is-a-really-good-book-for-complex-variables

另一本偏向幾何觀點的新書：
(Saeed Zakeri) A Course in Complex Analysis

Terence Tao 課程部落格：
https://terrytao.wordpress.com/category/teaching/246a-complex-analysis/
https://terrytao.wordpress.com/category/teaching/246b-complex-analysis/

Richard Borcherds 教學影片：
https://www.youtube.com/watch?v=qXWRL6NHlWc&list=PL8yHsr3EFj537_iYA5QrvwhvMlpkJ1yGN


* * * * * * * * * *


黎曼曲面參考資料：

Donaldson: Riemann surfaces
Miranda: Algebraic Curves and Riemann Surfaces
Farkas-Kra: Riemann surfaces
Forster: Lectures on Riemann Surfaces

更多資料可參考
https://math.stackexchange.com/questions/135047/perspectives-on-riemann-surfaces/135108#135108 
評量方式
(僅供參考)
  
No.
項目
百分比
說明
1. 
 作業 
50% 
 每週一次，最低分作業不採計，特殊原因外不接受遲交。鼓勵和其他同學討論，但請寫下自己的證明和解答。 
2. 
 期中考 
20% 
  
3. 
 期末考 
30% 
  
4. 
 彈性 
0% 
 提出好問題、上台寫習題，或指出板書、習題、作業等書面數學錯誤，每次加總成績0.2分，最多20次。  
 
課程進度
週次
日期
單元主題
第1週
 9/6, 9/8  複數的幾何、共形映射、全純映射和例子、複微分、平面上的1-形式和積分。 
第2週
 9/13, 9/15  封閉1-形式、複數線積分、柯西－古薩定理、柯西積分定理。 
第3週
 9/20, 9/22  卷繞數、最大值原理、劉維定理、解析延拓、黎曼延拓定理、亞純函數、奇點、洛朗級數。 
第4週
 9/27, 9/29  零點與極點、全純函數序列、龍格逼近定理、留數定理、幅角原理、開映射定理。 
第5週
 10/4, 10/6  Mittag-Leffler定理、Weierstraß分解定理、Gamma函數。 
第6週
 10/11, 10/13  Gamma函數、黎曼zeta函數、調和函數。 
第7週
 10/18, 10/20  調和函數、圓盤上的Dirichlet問題、延森公式、整函數。 
第8週
 10/25, 10/27  Hadamard定理。期中考。 
第9週
 11/1, 11/3  函數的解析延拓、拓撲曲面、黎曼曲面、黎曼球。 
第10週
 11/8, 11/10  球面幾何、仿射代數曲線、複射影平面。 
第11週
 11/17  射影代數曲線、商構造。 
第12週
 11/22, 11/24  基本群、覆蓋空間、單值化定理（敘述）。 
第13週
 11/29, 12/1  黎曼映射定理、Carathéodory定理、黎曼球上的亞純1-形式。 
第14週
 12/6, 12/8  Schwarz-Christoffel定理、Schwarzian微分、zeta函數與質數的分佈。 
第15週
 12/13, 12/15  Stirling漸近式、Riemann-von Mangoldt明確式、質數分佈定理、環繞數。